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<!DOCTYPE html>

<title>Ising-Modell</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Ising-Modell</h1>

</header>

</div>

Das Ising-Modell ist ein von <a href="Ernst_Ising" title="Ernst Ising">Ernst Ising</a> auf Anregung seines Doktorvaters <a href="Wilhelm_Lenz_(Physiker)" title="Wilhelm Lenz (Physiker)">Wilhelm Lenz</a> 1924<a href="#cite_note-1">[1]</a> erstmals genauer untersuchtes <a href="Gittermodell" title="Gittermodell">Gittermodell</a> in der <a href="Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen Physik</a>. Es beschreibt insbesondere den <a href="Ferromagnetismus" title="Ferromagnetismus">Ferromagnetismus</a> in <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpern</a> (<a href="Kristall" title="Kristall">Kristallen</a>). Das Ising-Modell zählt zu den meistuntersuchten Modellen der <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a>. Ising-Modelle können mit <a href="Monte-Carlo-Simulation" title="Monte-Carlo-Simulation">Monte-Carlo-Simulationen</a> untersucht werden oder durch die Beschreibung als <a href="Zellul%C3%A4rer_Automat" title="Zellulärer Automat">zellulärer Automat</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

In dem Modell wird angenommen, dass die <a href="Spin" title="Spin">Spins</a>, welche das <a href="Magnetisches_Moment" class="mw-redirect" title="Magnetisches Moment">magnetische Moment</a> der Atome oder Ionen bestimmen, nur zwei diskrete Zustände annehmen können (Spinwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm 1}" loading="lazy">). Die Richtung im Raum bleibt aber offen; es handelt sich also um <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> (um im <a href="Klassische_Physik" title="Klassische Physik">klassischen Bild</a> zu bleiben, bzw. <a href="Quantenmechanisch" class="mw-redirect" title="Quantenmechanisch">quantenmechanisch</a> um <a href="Vektoroperator" title="Vektoroperator">Vektoroperatoren</a>).

Der allgemeine Energieausdruck (oder <a href="Hamiltonoperator" title="Hamiltonoperator">Hamiltonoperator</a>) für eine solche Situation ist durch das <a href="Heisenberg-Modell" title="Heisenberg-Modell">Heisenberg-Modell</a> gegeben:

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mtext>(Heisenberg-Modell)</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}-{\vec {H}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}\quad {\text{(Heisenberg-Modell)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf4f8cd45792840368a8fe2290817150fc202d23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:56.829ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}-{\vec {H}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}\quad {\text{(Heisenberg-Modell)}}}" loading="lazy"> . <a href="#cite_note-2">[2]</a></dd></dl>

Hierbei bezeichnet

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {s}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0ba4d9f95bfdc2ff76750a07168efdf99903727.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {s}}_{i}}" loading="lazy"> einen (mehrkomponentigen) Spin des Atoms am Platz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> des <a href="Kristallgitter" class="mw-redirect" title="Kristallgitter">Kristallgitters</a>,</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a5daff3ca4e673277d8780ceb49b6922bbf6fac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J_{ij}}" loading="lazy"> die <a href="Kopplungskonstante" title="Kopplungskonstante">Kopplungskonstante</a> (Stärke der Austauschkopplungs-Wechselwirkung) zwischen den Spins an den Plätzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy">,</li>

<li>der Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdot }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdot }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.439ex; margin-bottom: -0.61ex; width:0.647ex; height:1.176ex;" alt="{\displaystyle \cdot }" loading="lazy"> das <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a></li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17aa4b2a53bc35011373e1bfe86baf779b521329.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {H}}}" loading="lazy"> die <a href="Magnetische_Feldst%C3%A4rke" title="Magnetische Feldstärke">Stärke des Magnetfeldes</a>.</li></ul>

Beim Ising-Modell dagegen wird die Zahl der Spinkomponenten auf Eins reduziert (d. h. parallel oder antiparallel zu einer ausgezeichneten Achse – hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{i}^{z}=\pm 1}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i}^{z}=\pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e0ddb8495140575b28cb60476be4a9b18a2911f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s_{i}^{z}=\pm 1}" loading="lazy">:

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mtext>(Ising-Modell)</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z}-H_{z}\sum _{i=1}^{N}s_{i}^{z}\quad {\text{(Ising-Modell)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15d6a9789e034dd5432ec2e07ef0bd782a552d3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:48.621ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z}-H_{z}\sum _{i=1}^{N}s_{i}^{z}\quad {\text{(Ising-Modell)}}}" loading="lazy"> .</dd></dl>

Oft wird zusätzlich angenommen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a5daff3ca4e673277d8780ceb49b6922bbf6fac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J_{ij}}" loading="lazy"> nur für benachbarte Spins ungleich Null ist. Ist die Austauschkopplung positiv, so spricht man von einer <a href="Ferromagnetisch" class="mw-redirect" title="Ferromagnetisch">ferromagnetischen</a> Kopplung; ist sie negativ, so wird sie <a href="Antiferromagnetisch" class="mw-redirect" title="Antiferromagnetisch">antiferromagnetisch</a> genannt. Bei Ferromagneten bzw. Antiferromagneten dominiert das jeweilige <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a>; bei den <a href="Spinglas" class="mw-redirect" title="Spinglas">Spingläsern</a> kommen beide Vorzeichen gleich häufig vor.

Durch geeignete Wahl der Wechselwirkungen können u. a. Spingläser (hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a5daff3ca4e673277d8780ceb49b6922bbf6fac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J_{ij}}" loading="lazy"> eine Zufallsgröße), verdünnte Magnete mit interessanten <a href="Kritisches_Ph%C3%A4nomen" title="Kritisches Phänomen">kritischen Eigenschaften</a> oder auch räumlich modulierte magnetische Strukturen (hierbei liegen konkurrierende Kopplungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a5daff3ca4e673277d8780ceb49b6922bbf6fac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J_{ij}}" loading="lazy"> vor, siehe <a href="ANNNI-Modell" title="ANNNI-Modell">ANNNI-Modell</a><a href="#cite_note-3">[3]</a>) modelliert werden. Im Allgemeinen beschreibt das Ising-Modell die <a href="Magnetische_Ordnung" title="Magnetische Ordnung">magnetischen Ordnungen</a> bei tiefen <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperaturen</a>, die bei höheren Temperaturen jedoch durch <a href="Ungeordnete_Bewegung" title="Ungeordnete Bewegung">thermische Fluktuationen</a> aufgebrochen werden, wobei ein <a href="Phasen%C3%BCbergang" title="Phasenübergang">Phasenübergang</a> stattfindet. Eine umfassende theoretische Analyse von Phasenübergängen liefert die Theorie der <a href="Renormierungsgruppe" title="Renormierungsgruppe">Renormierungsgruppen</a>, für die <a href="Kenneth_G._Wilson" class="mw-redirect" title="Kenneth G. Wilson">Kenneth G. Wilson</a> 1982 den Nobelpreis für Physik erhielt.

Bei der eindimensionalen Ising-Kette mit hinreichend kurzreichweitigen Wechselwirkungen beobachtet man jedoch keinen Phasenübergang. Dies hatte schon Ernst Ising in seiner Doktorarbeit mit Bedauern feststellen müssen. Fälschlicherweise vermutete er, dass dies auch für zwei und mehr Dimensionen zutrifft, was zunächst allgemein akzeptiert wurde. Die Argumentation hierfür ist, dass die Energie einer Insel aus Spins mit antiparalleler Ausrichtung zum Rest der Kette nur von der Kopplungskonstante abhängt, jedoch nicht von der Größe der Insel. Die Entropie eines Systems hängt jedoch vom <a href="Binomialkoeffizient" title="Binomialkoeffizient">Binomialkoeffizient</a> zwischen Zahl der Inseln und Systemgröße ab. Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freie Energie</a> immer minimal. Es folgt dann direkt, dass ein ungeordnetes (paramagnetisches) System eine niedrigere freie Energie hat und eine ferromagnetische Phase deshalb nicht existieren kann.

<a href="Rudolf_Peierls" title="Rudolf Peierls">Rudolf Peierls</a> zeigte jedoch 1936,<a href="#cite_note-4">[4]</a> dass in zwei Dimensionen sehr wohl ein Phasenübergang vorlag. 1941 bestimmten <a href="Hendrik_Anthony_Kramers" title="Hendrik Anthony Kramers">Hendrik Anthony Kramers</a> und <a href="Gregory_Wannier" title="Gregory Wannier">Gregory Wannier</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> durch ein <a href="Dualit%C3%A4t_(Logik)" title="Dualität (Logik)">Dualitätsargument</a> die <a href="Curie-Temperatur" title="Curie-Temperatur">kritische Temperatur</a>. Die exakte Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und bei verschwindendem Magnetfeld wurde erstmals 1944 von <a href="Lars_Onsager" title="Lars Onsager">Lars Onsager</a> berechnet.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Weitere Verbesserungen stammten von <a href="Bruria_Kaufman" title="Bruria Kaufman">Bruria Kaufman</a> (teilweise mit Onsager zusammen) und <a href="Chen_Ning_Yang" title="Chen Ning Yang">Chen Ning Yang</a>, der 1952 die spontane Magnetisierung exakt berechnete.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Eine <a href="Kombinatorisch" class="mw-redirect" title="Kombinatorisch">kombinatorische</a> Behandlung stammt von <a href="Mark_Kac" title="Mark Kac">Mark Kac</a> und <a href="John_Clive_Ward" title="John Clive Ward">John Clive Ward</a> (1952),<a href="#cite_note-8">[8]</a> und der Beweis der Äquivalenz zu einem <a href="Fermion" title="Fermion">Fermionen</a>modell von <a href="Elliott_Lieb" title="Elliott Lieb">Elliott Lieb</a>, Theodore David Schultz und <a href="Daniel_Mattis" title="Daniel Mattis">Daniel Charles Mattis</a> (1964).<a href="#cite_note-9">[9]</a>

Für das dreidimensionale Ising-Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Spins gibt es keine <a href="Analytische_L%C3%B6sung" class="mw-redirect" title="Analytische Lösung">analytisch-exakte Lösung</a>. Seine Eigenschaften kann man jedoch mit Hilfe der <a href="Molekularfeldn%C3%A4herung" class="mw-redirect" title="Molekularfeldnäherung">Molekularfeldnäherung</a> (oder <a href="Landau-Theorie" title="Landau-Theorie">Landau-Theorie</a>), <a href="Monte-Carlo-Simulation" title="Monte-Carlo-Simulation">Monte-Carlo-Simulationen</a>, <a href="Reihenentwicklung" title="Reihenentwicklung">Reihenentwicklungen</a> oder anderen <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen</a> Lösungsverfahren berechnen.

Das Ising-Modell gilt wegen seiner konzeptionellen Einfachheit und seiner vielfältigen Eigenschaften als „<a href="Drosophila" title="Drosophila">Drosophila</a>“ der statistischen Physik. Es hat darüber hinaus Anwendungen in vielen Bereichen der Naturwissenschaften gefunden, bis hin zur Biologie und Hirnforschung. Die nahezu programmatische Aussage von <a href="Michael_E._Fisher" title="Michael E. Fisher">Michael E. Fisher</a> ‚Ising models still thrive‘ (etwa: ‚Ising-Modelle sind noch im Wachsen‘) wird wohl noch für viele Jahre gültig bleiben. Auch dient es für viele Konzepte der statistischen Physik als simples Beispiel.

Verallgemeinerungen des Ising-Modells liefern das <a href="Blume-Capel-Modell" title="Blume-Capel-Modell">Blume-Capel-Modell</a>, das <a href="Potts-Modell" title="Potts-Modell">Potts-Modell</a> und das <a href="Markow-Netzwerk" class="mw-redirect" title="Markow-Netzwerk">Markow-Netzwerk</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vereinfachte_Darstellung">Vereinfachte Darstellung</h2></div>

Die wesentlichen Eigenschaften des Ising-Modells lassen sich erläutern anhand des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wechselwirkung nur zwischen direkten Nachbarn (links, rechts, oben, unten) in Abwesenheit eines externen Magnetfelds (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{z}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{z}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/235520b63ebc15502ca5998c7f1cfa9e69739dcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.194ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{z}=0}" loading="lazy">).

In diesem speziellen Fall kann die Energie eines Zustands beschrieben werden durch:

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z}\\&=-JN_{\rm {N}}+2JN_{\rm {A}}\;.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f024dbe1b0f6d6e5727e9d9745a4754b41950ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:22.521ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}J_{ij}s_{i}^{z}s_{j}^{z}\\&=-JN_{\rm {N}}+2JN_{\rm {A}}\;.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>der konstanten Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{\rm {N}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{\rm {N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cc6aed586ad1ef58ed0888948948851a74f935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.331ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{\rm {N}}}" loading="lazy"> der möglichen Nachbarpaare</li>

<li>der Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{\rm {A}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{\rm {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3946f5f7156e3ba9741c49e24adc5e35b18f3cbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.331ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{\rm {A}}}" loading="lazy"> Nachbarpaare mit unterschiedlicher Ausrichtung, die von der Ausrichtung der einzelnen Spins abhängt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{\rm {A}}\leq N_{\rm {N}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{\rm {A}}\leq N_{\rm {N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f94fe29ccdf4bee552575caa71cadfc24dd2aabd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.761ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{\rm {A}}\leq N_{\rm {N}}}" loading="lazy">).</li></ul>

Die konstante Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -JN_{\rm {N}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -JN_{\rm {N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f64cd0d00cee0c4e7473e9217f8e249a23ff0ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.611ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -JN_{\rm {N}}}" loading="lazy"> des <a href="Grundzustand" title="Grundzustand">Grundzustands</a> trägt nicht zum <a href="Thermodynamisch" class="mw-redirect" title="Thermodynamisch">thermodynamischen</a> Verhalten des Systems bei. Entgegengesetzte Nachbarspins liefern einen Energiebeitrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2314b7eafd2990c10b61642dfb3dca70f07d0ac8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.634ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2J}" loading="lazy">, parallele Spins liefern keinen Beitrag.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Energie,_Wärme,_Wahrscheinlichkeit">Energie, Wärme, Wahrscheinlichkeit</h3></div>

Das Bild zeigt symbolisch einen winzigen „Magneten“ aus 25 „Eisen-Atomen“. Eisenatome verhalten sich wie kleine Magnete. Das Magnetfeld des Gesamtmagneten ist die Summe der Magnetfelder, die von den einzelnen Atomen ausgehen, wobei die Felder entgegengesetzt ausgerichteter Atome einander aufheben.

Fünf der Atome (schwarz) sind hier in eine Richtung ausgerichtet, die restlichen 20 (weiß) in die andere Richtung. Die Netto<a href="Magnetisierung" title="Magnetisierung">magnetisierung</a> ist somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5-20=-15}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5-20=-15}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39ace4fb7ad180e68c85e9e300d30acc78f322e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.559ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 5-20=-15}" loading="lazy"> Einheiten. Ein bestimmtes Schwarz-Weiß-Muster bezeichnet man als den Zustand des Magneten.

Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{\rm {A}}=14}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{\rm {A}}=14}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5289dd8c621b2b0ed44e64ce79a747d3f8e7c563.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.754ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{\rm {A}}=14}" loading="lazy"> roten Kanten zeigen entgegengesetzt ausgerichtete Nachbarn. Jede rote Kante entspricht einer im Magneten gespeicherten <a href="Energie" title="Energie">Energie</a>menge, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2314b7eafd2990c10b61642dfb3dca70f07d0ac8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.634ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2J}" loading="lazy"> genannt wird (dies steht hier nicht für die Energieeinheit <a href="Joule" title="Joule">Joule</a>, sondern für eine Kenngröße des jeweiligen Materials).

Jede rote Kante vermindert die <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>, den Zustand in der Natur anzutreffen, und zwar umso mehr, je kälter es ist. Man berechnet dies, indem man die Wahrscheinlichkeit für den Zustand „alle Atome gleichgerichtet“ für jede rote Kante einmal mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp \left(-{\frac {2J}{Tk_{\mathrm {B} }}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \left(-{\frac {2J}{Tk_{\mathrm {B} }}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62dc75e909677b9cfd5618964da240b71d70ac28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.861ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \exp \left(-{\frac {2J}{Tk_{\mathrm {B} }}}\right)}" loading="lazy"> multipliziert. Dabei ist der Nenner das Produkt aus der Temperatur in <a href="Kelvin" title="Kelvin">Kelvin</a> und der <a href="Boltzmann-Konstante" title="Boltzmann-Konstante">Boltzmann-Konstanten</a>.

Beispiel: An einem warmen Sommertag (27 Grad Celsius, d. h. ca. 300 K) bewirkt in einem Material, dessen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2314b7eafd2990c10b61642dfb3dca70f07d0ac8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.634ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2J}" loading="lazy">-Wert 0,0595 <a href="Elektronenvolt" title="Elektronenvolt">Elektronenvolt</a> beträgt, jede rote Kante eine Wahrscheinlichkeitsminderung um den Faktor 10. Bei Abkühlung auf minus 123 Grad Celsius, d. h. ca. 150 K, ist der Faktor schon 100 und bei minus 173 Grad, d. h. ca. 100 K, sogar 1000.

Das Gesagte betrifft die Wahrscheinlichkeit eines individuellen Zustandes, die meist sehr klein ist. Meist gibt es aber auch eine sehr große Zahl von Zuständen, die eine bestimmte Magnetisierungsstärke des Magneten (Anzahl schwarzer Quadrate minus Anzahl weißer Quadrate) herstellen (man denke an die zahlreichen Möglichkeiten, einen Lottoschein auszufüllen).

Die große Zahl von Zuständen kann die kleine Wahrscheinlichkeit des einzelnen Zustandes ausgleichen. Tatsächlich gibt es in der Regel bei gegebener Temperatur eine bestimmte Magnetisierungsstärke, die alle anderen an Wahrscheinlichkeit deutlich übertrifft. Diese Magnetisierung wird fast ausschließlich angetroffen. Mit zunehmender Temperatur verschiebt sie sich von „voll magnetisiert“ zu „entmagnetisiert“.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Extreme_Temperaturen">Extreme Temperaturen</h3></div>

Um ein Gefühl für die Bedeutung des oben gesagten zu finden, betrachte man zuerst die Grenzfälle sehr geringer und sehr hoher Temperatur. Entgegen der Intuition werden die Berechnungen dabei nicht etwa durch große Zahlen erschwert, sondern so einfach, dass man schon durch „Kopfrechnung“ zu Ergebnissen kommt.

Bei extrem tiefen Temperaturen (Temperatur nähert sich dem <a href="Absoluter_Nullpunkt" title="Absoluter Nullpunkt">absoluten Nullpunkt</a>) wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp \left(-{\frac {2J}{Tk_{\mathrm {B} }}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \left(-{\frac {2J}{Tk_{\mathrm {B} }}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62dc75e909677b9cfd5618964da240b71d70ac28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.861ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \exp \left(-{\frac {2J}{Tk_{\mathrm {B} }}}\right)}" loading="lazy"> so klein, dass kein Zustand außer „alle schwarz“ oder „alle weiß“ jemals angetroffen werden kann. Der Magnet nimmt somit seine volle Magnetisierung an.

Bei extrem hohen Temperaturen hingegen wird der Wahrscheinlichkeitsfaktor der Zahl 1 immer ähnlicher, so dass er zu keiner

Wahrscheinlichkeitsminderung führt und alle Zustände gleich wahrscheinlich werden. Dann gilt für jede Magnetisierung die reine Anzahl der sie realisierenden Zustände, und die ist für „50 % weiß – 50 % schwarz“ am höchsten. Der Magnet ist effektiv entmagnetisiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moderate_Temperatur">Moderate Temperatur</h3></div>

Der abgebildete Zustand mit einem abweichenden Atom weist vier rote Kanten auf. Bei einem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2314b7eafd2990c10b61642dfb3dca70f07d0ac8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.634ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2J}" loading="lazy">-Wert von 0,0017 eV ist dieser eine Zustand zehnmal weniger wahrscheinlich als die Vollmagnetisierung (bei 27 Grad Celsius). Allerdings gibt es 25 Möglichkeiten, genau ein Atom abweichen zu lassen, und so ist eine Magnetisierung von 24 Einheiten (25 – 1 entgegengesetzt) 2,5-mal so wahrscheinlich wie die Vollmagnetisierung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kritische_Temperatur">Kritische Temperatur</h3></div>

Der Zusammenbruch des Magnetismus tritt schon bei einer endlichen Temperatur auf, der kritischen Temperatur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{C}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/becff78cd94880c5e7354a84d31b69dae139a7d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.839ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{C}}" loading="lazy">. Dies zu begründen erfordert umfangreiche mathematische Analysen, die hier nicht ausgeführt werden können.

Nahe der kritischen Temperatur treten „interessante“ Muster (bezüglich der Schwarz-Weiß-Verteilung) auf.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Strukturbildung">Strukturbildung</h3></div>

Auf dem Weg vom absoluten Nullpunkt zu unendlicher Temperatur gelangt man von perfekter Ordnung zu perfektem <a href="Rauschen_(Physik)" title="Rauschen (Physik)">Rauschen</a>.

Dazwischen findet man „interessante“ <a href="Muster_(Struktur)" title="Muster (Struktur)">Muster</a>. Bezüglich des Magnetisierungswertes bildet sich ein Kompromiss zwischen geringer Wahrscheinlichkeit und großer Anzahl eines Zustands: Eine beliebig herausgegriffene kompakte Struktur weist zwar weniger rote Kanten auf (und ist daher wahrscheinlicher) als eine beliebig herausgegriffene aufgelockerte Struktur; weil es aber mehr aufgelockerte Strukturen gibt, kann die Eigenschaft „aufgelockert“ insgesamt wahrscheinlicher sein. Man wird also einen Kompromiss vorfinden, der weder ganz kompakt noch ganz zerrissen ist, eben eine „interessante“ Struktur.

Analog kann man argumentieren bezüglich der <a href="Streuung_(Statistik)" class="mw-redirect" title="Streuung (Statistik)">Streuung</a> schwarzer und weißer Quadrate, wenn Temperatur und Magnetisierung gegeben sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen_und_Interpretationen">Anwendungen und Interpretationen</h2></div>

Die ursprüngliche Interpretation des Isingmodells ist die „<a href="Magnetismus" title="Magnetismus">magnetische</a>“: Die Spinwerte zeigen nach „oben“ bzw. nach „unten“. Aber auch für andere <a href="Relation_(Mathematik)" title="Relation (Mathematik)">binäre</a> Probleme bietet sich das Isingmodell an.

Ein prominentes Beispiel ist das „Ising-Gittergas“, das zur Modellierung von <a href="Fl%C3%BCssigkeit" title="Flüssigkeit">Flüssigkeiten</a> benutzt werden kann: Man betrachtet hierbei ein Gitter, dessen Plätze entweder „besetzt“ oder „unbesetzt“ sein können, je nachdem, ob der dem Gitterplatz zugeordnete Isingspin den Wert +1 oder −1 hat.

Mit dem Isingmodell können auch <a href="Spinglas" class="mw-redirect" title="Spinglas">Spingläser</a> beschrieben werden, nämlich mit der Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\sum s_{i}\,J_{ik}\,s_{k}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\sum s_{i}\,J_{ik}\,s_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f2ee17af3188a4729e7eb2381ec3dfd11cadb9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:20.547ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}=-{\tfrac {1}{2}}\sum s_{i}\,J_{ik}\,s_{k}}" loading="lazy">, wobei die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-Variablen die Ising-Spins bedeuten und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55102a3713e408a89fab1568a18f1ce121ff6a82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.946ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{ik}}" loading="lazy"> feste, aber zufällige Werte annehmen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantenchromodynamik">Quantenchromodynamik</h3></div>

Darüber hinaus existiert eine Interpretation dieses Hamiltonoperators als ein stark vereinfachtes Modell der <a href="Quantenchromodynamik" title="Quantenchromodynamik">Quantenchromodynamik</a> in der <a href="Elementarteilchenphysik" class="mw-redirect" title="Elementarteilchenphysik">Elementarteilchenphysik</a>: Man kann die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-Variablen als <a href="Quark_(Physik)" title="Quark (Physik)">Quarks</a> und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55102a3713e408a89fab1568a18f1ce121ff6a82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.946ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{ik}}" loading="lazy"> als <a href="Gluon" title="Gluon">Gluonen</a> interpretieren, wenn man beide Größen fluktuieren lässt. Allerdings muss man in diesem Fall zum Hamiltonoperator noch die als <a href="Wilson-Loop" title="Wilson-Loop">Wilson-Loop</a>-Variablen bezeichneten Gluon-Gluon-Kopplungen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,J_{ik}J_{kl}J_{lm}J_{mi}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,J_{ik}J_{kl}J_{lm}J_{mi}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa7fcdff2c6060f81d6480c480f26453c751574e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.191ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,J_{ik}J_{kl}J_{lm}J_{mi}}" loading="lazy"> hinzufügen.

Man erhält dann <a href="Eichinvarianz" class="mw-redirect" title="Eichinvarianz">eichinvariante</a> Modelle, welche mit unkorrelierten binären Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{i}=\pm 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{i}=\pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0bf15a6fe016db70b8a3efe1492da5491a39502.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.813ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{i}=\pm 1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{k}=\pm 1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{k}=\pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/993520e8b35c311742a3d70e0ca628c7ea1a579c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.102ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{k}=\pm 1}" loading="lazy"> den gekoppelten <a href="Eichtransformation" title="Eichtransformation">Eichtransformationen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{i}\to s_{i}\epsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{i}\to s_{i}\epsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aa6c028dfb73d8930f2501fe9b6596dcd4a6b5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.138ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s_{i}\to s_{i}\epsilon _{i}}" loading="lazy"> , <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{k}\to s_{k}\epsilon _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{k}\to s_{k}\epsilon _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dcd1e99e8ea776f4d846ee57b5087e0373b1c0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.005ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s_{k}\to s_{k}\epsilon _{k}}" loading="lazy"> , <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{ik}\to \epsilon _{i}J_{ik}\epsilon _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{ik}\to \epsilon _{i}J_{ik}\epsilon _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22ef04b04190ce0680a97c94e432b7b12dbb957d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{ik}\to \epsilon _{i}J_{ik}\epsilon _{k}}" loading="lazy"> genügen; d. h. der Hamiltonoperator bleibt bei diesen Transformationen invariant, so wie die <a href="Lagrangefunktion" class="mw-redirect" title="Lagrangefunktion">Lagrangefunktion</a> der Quantenchromodynamik gegenüber Transformationen mit den Elementen der Gruppe <a href="SU(3)" class="mw-redirect" title="SU(3)">SU(3)</a> invariant bleibt, die hier durch die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3837cad72483d97bcdde49c85d3b7b859fb3fd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.944ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \epsilon }" loading="lazy">-Variablen ersetzt sind.

Mit diesem Modell – einer Art Ising Lattice QCD – wurde die <a href="Gittereichtheorie" title="Gittereichtheorie">Gittereichtheorie</a> eingeführt. Die relevante Veröffentlichung dazu stammt von <a href="Franz_Wegner" title="Franz Wegner">Franz Wegner</a>. <a href="#cite_note-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nukleation">Nukleation</h3></div>

Eine weitere Anwendungsmöglichkeit ist die Simulation von Phasenübergängen durch <a href="Nukleation" class="mw-redirect" title="Nukleation">Nukleation</a>. Homogene Nukleation entspricht bei der Modellierung ziemlich exakt dem Ferromagnetismus, für heterogene Nukleation müssen einige kleine Änderungen vorgenommen werden.

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}=-J{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}-{\vec {H}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}-J_{s}{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}^{\text{Wand}}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71716a2ec2f2ed3038ae5912c2e7b7c272223a83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:50.732ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}=-J{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}-{\vec {H}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\vec {s}}_{i}-J_{s}{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}^{\text{Wand}}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-11">[11]</a></dd></dl>

Die erste Summe ist in diesem Fall wieder die Interaktion zwischen Nachbarn, die neu hinzugekommene zweite Summation über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4cbf8bbc622154cda8208d6e339495fe16a1f9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,j}" loading="lazy"> steht jedoch für die Interaktion mit einer Begrenzungsfläche.<a href="#cite_note-13">[13]</a>

Es zeigt sich, dass im Bereich derartiger Begrenzungsflächen ein Kern kritischer Größe um ein Vielfaches schneller entsteht.

Basierend darauf wurden auch Simulationen zur Nukleation auf <a href="Por%C3%B6s" class="mw-redirect" title="Porös">poröser</a> Oberfläche durchgeführt. Ihr Ergebnis war, dass eine bestimmte Größe der Poren gegeben sein muss, um schnellstmögliche Nukleation zu gewährleisten (in der Regel ist dies bei unregelmäßigen Poren am ehesten gegeben): Bei großen Poren ist der Anteil an Begrenzungsflächen kleiner, dadurch entsteht länger kein Nukleationskern kritischer Größe in der Pore; wenn die Pore hingegen klein ist, so ist die Initiation eines Phasenübergangs vom oberen Rand weg weniger wahrscheinlich.<a href="#cite_note-14">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise_und_Fußnoten">Einzelnachweise und Fußnoten</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Ernst_Ising" title="Ernst Ising">E. Ising</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/article/10.1007/BF02980577">Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus</a>, Zeitschrift für Physik, Band 31, 1925, S. 253–258

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Bezüglich der Mitnahme des Faktors 1/2 gibt es unterschiedliche Konventionen (oft wird er fortgelassen)

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Walter_Selke" title="Walter Selke">W.Selke</a>: The ANNNI model. In: Physics Reports 170, 1988, S. 213–264, <a href="https://doi.org/10.1016/0370-1573(88)90140-8" class="extiw external" title="doi:10.1016/0370-1573(88)90140-8">doi:10.1016/0370-1573(88)90140-8</a>

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="Rudolf_Peierls" title="Rudolf Peierls">R.Peierls</a>, Ising’s model of ferromagnetism, Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 32, 1936, S. 477–481

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Hendrik_Anthony_Kramers" title="Hendrik Anthony Kramers">H.A.Kramers</a>, <a href="Gregory_Wannier" title="Gregory Wannier">G.Wannier</a>, Statistics of the two dimensional Ferromagnet, 2 Teile, Phys. Rev., Band 60, 1941, S. 252–262, 263–276

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Lars_Onsager" title="Lars Onsager">L.Onsager</a>, Crystal Statistics I, Physical Review, Band 65, 1944, S. 117–149

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="Chen_Ning_Yang" title="Chen Ning Yang">C. N. Yang</a>, The spontaneous magnetization of the two dimensional Ising model, Phys. Rev., Band 85, 1952, S. 808–816

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Mark_Kac" title="Mark Kac">M. Kac</a>, <a href="John_Clive_Ward" title="John Clive Ward">J.C. Ward</a>, Physical Review Bd. 88, 1952, S. 1332

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> T.D. Schultz, <a href="Elliott_Lieb" title="Elliott Lieb">E. Lieb</a>, <a href="Daniel_Mattis" title="Daniel Mattis">D.C. Mattis</a>, Two dimensional Ising model as a soluble model of many fermions, Rev. Mod. Phys., Band 36, Juli 1964, S. 856–871

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a href="Franz_Wegner" title="Franz Wegner">F. Wegner</a>, Duality in Generalized Ising Models and Phase Transitions without Local Order Parameter, J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Reprinted in <a href="Claudio_Rebbi" title="Claudio Rebbi">Claudio Rebbi</a> (Hrsg.): Lattice Gauge Theories and Monte Carlo Simulations, World Scientific, Singapore (1983), S. 60–73. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Abstracts.html#12">Abstract</a>)

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> A. J. Page, R. P. Sear: Heterogeneous nucleation in and out of pores. In: Physical review letters. Band 97, Nummer 6, August 2006, S. 065701, <a href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.065701" class="extiw external" title="doi:10.1103/PhysRevLett.97.065701">doi:10.1103/PhysRevLett.97.065701</a>, <a class="external mw-magiclink-pmid" rel="nofollow" href="https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/17026175?dopt=Abstract">PMID 17026175</a>. (Variablennamen und Vorzeichen angepasst um Konsistenz auf der Seite zu gewährleisten)

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Berechnet mit <a rel="nofollow" class="external text" href="https://github.com/oerpli/Ising2D">GitHub</a>

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Sofern die Begrenzungsfläche Nukleation nicht direkt begünstigt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{s}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{s}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7947d4cfba789e51c4f5a080254773048072a49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.554ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{s}=0}" loading="lazy">), ist die einzige Änderung, die man für die derart geänderte Hamiltonfunktion durchführen muss, den Spin aller Atome, die zur Wand gehören, auf 0 zu ändern.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> <a href="Daan_Frenkel" title="Daan Frenkel">D.Frenkel</a>: Physical chemistry: Seeds of phase change. In: Nature. 443, 2006, S. 641, <a href="https://doi.org/10.1038/443641a" class="extiw external" title="doi:10.1038/443641a">doi:10.1038/443641a</a>.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Barry Cipra: An introduction to the Ising model, American Mathematical Monthly, Band 94, 1987, S. 937–959, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Hasse/00029890.di991727.99p0087h.pdf">pdf</a></li>

<li><a href="Barry_McCoy" title="Barry McCoy">Barry McCoy</a>, <a href="Tai_Tsun_Wu" title="Tai Tsun Wu">Tai Tsun Wu</a>: The two dimensional Ising model, Harvard University Press 1973</li>

<li><a href="John_Kogut" title="John Kogut">John Kogut</a>: An introduction to lattice gauge theory and spin systems, Rev. Mod. Phys., Band 51, 1979, S. 659–713</li>

<li><a href="Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a>: Statistical mechanics, Benjamin 1972</li>

<li><a href="Kerson_Huang" title="Kerson Huang">Kerson Huang</a>: Statistical mechanics, Wiley 1987</li>

<li><a href="Stephen_G._Brush" class="mw-redirect" title="Stephen G. Brush">Stephen G. Brush</a>: History of the Lenz-Ising model, Rev. Mod. Phys., Band 39, 1967, S. 883–893</li></ul>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4127615-2">4127615-2</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85068376">sh85068376</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-02" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Ising-Modell&oldid=257559301">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

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</body></html>